Bahan Ajar Matematika: Sistem Persamaan Dua Variabel (SPDV) - SMA Kelas 11

Bahan Ajar Matematika: Sistem Persamaan Dua Variabel (SPDV)

Untuk Murid SMA Kelas 11 (Fase F)

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, siswa diharapkan mampu:

1. Mengidentifikasi berbagai bentuk Sistem Persamaan Dua Variabel (SPDV), termasuk linear dan kuadrat.
2. Menyelesaikan SPDV (Linear-Linear, Linear-Kuadrat, Kuadrat-Kuadrat) menggunakan metode aljabar (substitusi dan eliminasi).
3. Menginterpretasikan solusi SPDV secara geometris (hubungan antargaris dan kurva).
4. Memodelkan dan menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan SPDV.

B. Konsep Kunci dan Prasyarat

1. Prasyarat

• Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV).
• Persamaan Kuadrat (PK) dan cara menyelesaikannya (faktorisasi, rumus ABC).
• Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat (grafik dan ciri-cirinya).

2. Konsep Kunci SPDV

Variabel: Simbol ($x$ dan $y$) yang mewakili nilai yang tidak diketahui.

Sistem Persamaan: Kumpulan dua atau lebih persamaan yang harus dipenuhi secara simultan oleh variabel-variabel yang sama.

Solusi (Himpunan Penyelesaian): Pasangan berurutan $(x, y)$ yang memenuhi **semua** persamaan dalam sistem tersebut.

C. Materi Inti

Pertemuan 1: SPDV Linear dan Metode Penyelesaian

1. Pengertian SPDV Linear-Linear (SPLDV)

Bentuk umum:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

di mana $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ adalah bilangan real.

2. Metode Penyelesaian

• **Metode Substitusi**: Mengubah satu persamaan untuk menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lain, kemudian mensubstitusikannya ke persamaan kedua.
• **Metode Eliminasi**: Mengalikan kedua persamaan agar koefisien salah satu variabel sama, lalu mengurangkan/menjumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel tersebut.

3. Interpretasi Geometris SPLDV

Solusi SPLDV $(x, y)$ adalah titik potong antara dua garis lurus. [Image of intersecting lines, parallel lines, and coincident lines]

• **Satu Solusi**: Dua garis berpotongan di satu titik.
• **Tak Terhingga Solusi**: Dua garis berimpit.
• **Tidak Ada Solusi**: Dua garis sejajar.

Pertemuan 2: SPDV Linear-Kuadrat dan Kuadrat-Kuadrat

1. SPDV Linear-Kuadrat (SPLKDV)

Bentuk umum (salah satu persamaan linear dan satu kuadrat), contoh:

$$ \begin{cases} y = ax + b \\ y = px^2 + qx + r \end{cases} $$

Penyelesaian: Selalu menggunakan **Metode Substitusi**. Substitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat.

Interpretasi Geometris: Solusi adalah titik potong antara garis lurus dan kurva parabola.

• Jumlah solusi dapat ditentukan dari nilai **diskriminan** ($D$) dari persamaan kuadrat hasil substitusi: $D > 0$ (dua solusi), $D = 0$ (satu solusi/menyinggung), $D < 0$ (tidak ada solusi).

2. SPDV Kuadrat-Kuadrat (SPKKV)

Bentuk umum (kedua persamaan berbentuk kuadrat), contoh:

$$ \begin{cases} y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \\ y = a_2x^2 + b_2x + c_2

Penyelesaian: Gunakan **Metode Substitusi** dengan menyamakan kedua persamaan: $y_1 = y_2$.

Pertemuan 3: Aplikasi SPDV dalam Masalah Kontekstual (Soal Cerita)

Langkah-Langkah Pemodelan

1. **Variabel**: Tetapkan variabel ($x, y$) untuk besaran yang tidak diketahui.
2. **Model Matematika**: Terjemahkan informasi dari soal cerita menjadi dua persamaan atau lebih.
3. **Selesaikan**: Tentukan himpunan penyelesaian dari SPDV tersebut.
4. **Interpretasikan**: Kembalikan solusi $(x, y)$ ke konteks masalah.

D. Asesmen Formatif (Contoh Soal Pilihan Ganda)

Jawablah pertanyaan berikut untuk menguji pemahaman Anda:

Soal 1

Penyelesaian dari sistem persamaan linear $2x - y = 7$ dan $x + 3y = 14$ adalah pasangan $(x, y)$. Nilai dari $x + y$ adalah...

A. 6

B. 8

C. 9

D. 10

Soal 2

Manakah pernyataan yang benar mengenai sistem persamaan $2x - 4y = 6$ dan $-x + 2y = -3$?

A. Memiliki solusi tunggal.

B. Tidak memiliki solusi.

C. Memiliki tak hingga banyak solusi.

D. Garis-garisnya saling tegak lurus.

Soal 3

Sistem persamaan $\begin{cases} y = x - 1 \\ y = x^2 - 3x + 2 \end{cases}$ diselesaikan dengan substitusi. Persamaan kuadrat satu variabel yang dihasilkan adalah...

A. $x^2 - 4x + 3 = 0$

B. $x^2 - 2x + 1 = 0$

C. $x^2 + 4x - 3 = 0$

D. $x^2 - 4x - 3 = 0$

Soal 4

Himpunan penyelesaian dari sistem $\begin{cases} y = 2x \\ y = x^2 - 3 \end{cases}$ adalah...

A. $\{ (-1, -2), (3, 6) \}$

B. $\{ (1, 2), (-3, -6) \}$

C. $\{ (1, 2), (3, 6) \}$

D. $\{ (-1, 2), (3, -6) \}$

Soal 5

Jika dua persamaan kuadrat $y = x^2 - 2x + 3$ dan $y = -x^2 + 4x - 1$ digabungkan menjadi SPDV Kuadrat-Kuadrat, berapa banyak solusi real yang dimilikinya?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Tak hingga

Soal 6

Sebuah toko menjual 2 baju dan 3 celana dengan harga total $\text{Rp}370.000$. Jika harga 1 baju dan 2 celana adalah $\text{Rp}220.000$, berapakah harga 1 baju?

A. $\text{Rp}70.000$

B. $\text{Rp}80.000$

C. $\text{Rp}90.000$

D. $\text{Rp}100.000$

Soal 7

Jika diskriminan dari persamaan kuadrat hasil substitusi SPLKDV bernilai negatif ($D < 0$), secara geometris, hal ini berarti...

A. Garis menyinggung kurva di satu titik.

B. Garis memotong kurva di dua titik.

C. Garis tidak memotong maupun menyinggung kurva.

D. Kurva dan garisnya sejajar.

Soal 8

Kurva parabola $y = x^2 - 6x + c$ menyinggung garis $y = 2x - 7$. Nilai konstanta $c$ adalah...

A. 16

B. 15

C. 13

D. 9

Soal 9

Seorang atlet menembakkan panah dengan lintasan berbentuk parabola yang dimodelkan oleh $y = -x^2 + 4x + 10$. Di mana $y$ adalah ketinggian dan $x$ adalah jarak horizontal. Panah tersebut menargetkan sebuah papan yang dipasang pada ketinggian $y=7$. Tentukan jarak horizontal $x$ di mana panah mengenai target.

A. $x=3$ dan $x=1$

B. $x=3$ saja

C. $x=1$ dan $x=3$

D. Hanya $x=1$

Soal 10

Dua kurva parabola $y = x^2 - 4$ dan $y = -x^2 + 4$ saling berpotongan di dua titik. Berapakah koordinat $y$ dari titik-titik potong tersebut?

A. $y=0$

B. $y=4$

C. $y=-4$ dan $y=4$

D. Tidak berpotongan

Kunci Jawaban Formatif

Periksa jawaban Anda dengan kunci berikut:

1. B. 8
2. C. Memiliki tak hingga banyak solusi.
3. A. $x^2 - 4x + 3 = 0$
4. A. $\{ (-1, -2), (3, 6) \}$
5. C. 2
6. B. $\text{Rp}80.000$
7. C. Garis tidak memotong maupun menyinggung kurva.
8. D. 9
9. C. $x=1$ dan $x=3$
10. A. $y=0$

Semoga bahan ajar ini bermanfaat dalam memahami Sistem Persamaan Dua Variabel!